Уравнения теплопроводности метод прогонки

Уравнения теплопроводности метод прогонки

Название: Специальные главы математики Ч.1 — Учебное пособие (В. С. Чередниченко, Р. П. Герман, Р. А. Бикеев.)

6.6. метод прогонки при решении одномерного приведенного уравнения теплопроводности

Для устойчивости конечно-разностной схемы при решении уравнения теплопроводности шаги сетки h=Dx и k=Dt должны быть неодинаковы. Выше было отмечено, что коэффициент s, связывающий шаг сетки по времени Dt с шагом сетки по длине стержня Dx для устойчивости решения должен быть меньше 0.5, а для получения минимальной погрешности при замене дифференциального уравнения конечно-разностным следует принять s =1/6.

При уменьшении h (уменьшение h также приводит к уменьшению погрешности решения) требуется значительное количество вычислений для решения задачи распространения тепла в стержне за единичный промежуток времени. Например, при h=0.1, k=h2/6=1/600, следовательно, для получения результата при tкон=1 необходимо проделать nt=tкон/k = 600 шагов (циклов) вычислений.

Процесс решения задачи можно значительно ускорить, если при замене дифференциального уравнения конечно-разностным использовать другую, так называемую неявную разностную схему, изображенную на рис. 6.6.

Принципиальным отличием ее от явной разностной схемы является то, что для составления конечно-разностного уравнения используются три узла сетки на j+1-м временном слое и один узел на j-м слое.

Конечно-разностное уравнение, заменяющее дифференциальное уравнение теплопроводности в узле (xi, tj) сетки, будет выглядеть следующим образом

, (6.11)

для i=1, 2. n–1 и j=0, 1, 2.

В уравнении (6.11) значение температуры на предыдущем j-м слое в i-м узле (сечении стержня) является известным, а все остальные значения – неизвестными (кроме T0 и Tn). Положив h2=s×k (или s=h2/k), из (6.11) получим

, i=1,2. n–1. (6.12)

Из краевых (граничных) условий имеем .

Тогда уравнение (6.12) для i=1 примет вид:

, (6.13)

а для i=n-1 – . Не забудем, что значения и известны (вычисляются в соответствии с краевыми условиями).

В результате имеем систему n–1 линейных алгебраических уравнений, с ленточной трехдиагональной матрицей коэффициентов. Такая система может быть решена методом прогонки, основные положения которого были изложены в разделе 2 настоящего пособия. Напомним основную идею этого метода: каждое i-е неизвестное системы выражается через i+1-е с помощью прогоночных коэффициентов. В нашем случае

или . (6.14)

Подставив в уравнение (6.12) вместо его выражение через прогоночные коэффициенты , и неизвестное (температуру) , получим:

, или

, откуда

.

Следовательно, выражения для прогоночных коэффициентов Ai, Bi для i=2,3. n–1 имеют вид:

, . (6.15)

Прогоночные коэффициенты A1 и B1 выведем из уравнения (6.13):

, . (6.16)

Таким образом, для решения одномерного приведенного уравнения теплопроводности при прямом ходе вычисляются прогоночные коэффициенты A1 и B1 по формулам (6.16) и Ai, Bi, i=2, 3. n–1 по формулам (6.15).

При обратном ходе вычисляются значения температур на очередном j+1-м временном слое для i=n–1, n–2. 1 с помощью прогоночных коэффициентов по формулам (6.14).

Напомним, что до вычисления прогоночных коэффициентов должны быть вычислены значения температур в левом и правом крайнем сечении стержня в соответствии с краевыми условиями.

При использовании метода прогонки для моделирования процесса теплопередачи в однородном стержне могут быть решены две задачи:

Читайте также:  Реставрация сколов эмали ванны

определение (расчет) температур при t=tкон без получения промежуточных результатов;

моделирование процесса теплопередачи с некоторым заданным шагом Dt по времени для того, чтобы на каждом шаге можно было вывести значения температур в сечениях стержня.

В соответствии с этим, алгоритм моделирования процесса теплопередачи в однородном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью с использованием метода прогонки может быть представлен следующими основными операциями:

Ввод исходных данных (l, n, tкон, Dt).

Определение ni=[tкон/Dt], s=h2/Dt.

Вывод заголовка, исходных данных, шапки (головки) таблицы результатов.

Вычисление значений температур нулевого временного слоя в соответствии с заданным начальным условием.

Вывод первой строки таблицы результатов.

Организация цикла j=1(1) nt.

Вычисление значений температур на концах стержня (T0 и Tn) в соответствии с краевыми (граничными) условиями.

Вычисление A1 и B1 по формулам (6.16).

Организация цикла i=2 (1) n–1.

Вычисление Ai, Bi по формулам (6.15);

Организация цикла i=n–1 (–1) 1.

Вычисление (температур очередного j+1-го временнóго слоя) – обратный ход метода прогонки.

Вывод строки результатов.

Содержание

Читать: Аннотация
Читать: 1. решение систем нелинейных уравнений
Читать: 1.1. постановка задачи
Читать: 1.2. метод ньютона
Читать: 1.3. алгоритм решения
Читать: 1.4. пример использования метода ньютона
Читать: 1.5. метод ньютона-рафсона
Читать: 1.6. пример решения инженерной задачи
Читать: 1.6.1. постановка задачи
Читать: 1.6.2. составление математической модели
Читать: 1.6.3. алгоритм решения задачи
Читать: 1.6.4. результаты моделирования
Читать: Решение системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной (разреженной) матрицей коэффициентов методом прогонки
Читать: 2.1. постановка задачи
Читать: 3. краевая двухточечная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
Читать: 3.1. постановка задачи
Читать: 3.2. математическая модель
Читать: 3.3. алгоритм решения задачи
Читать: 3.4. оценка погрешности решения краевой задачи
Читать: 3.5. использование центральных конечно-разностных отношений
Читать: 3.6. использование трехчленных формул для производных
Читать: 4. дифференциальные уравнения с частными производными (уравнения математической физики)
Читать: 4.1. общие положения
Читать: 4.2. начальные и краевые условия
Читать: 4.3. основные положения метода сеток
Читать: 5. численное решение уравнения лапласа (уравнения эллиптического типа)
Читать: 5.1. постановка задачи
Читать: 5.2. математическая модель
Читать: 5.3. пример решения инженерной задачи
Читать: 5.4. метод итераций при моделировании стационарного температурного поля
Читать: 6. пример решения параболического уравнения (уравнение теплопроводности)
Читать: 6.1. постановка задачи
Читать: 6.2. математическая модель
Читать: 6.3. метод решения
Читать: 6.4. алгоритм моделирования
Читать: 6.5. результаты решения
Читать: 6.6. метод прогонки при решении одномерного приведенного уравнения теплопроводности
Читать: 7.волновое уравнение
Читать: 7.1. общие положения
Читать: 7.2. постановка задачи
Читать: 7.3. математическая модель (метод решения)
Читать: С п и с о к л и т е р а т у р ы

Используя шаблон для каждого внутреннего узла области решения апроксимируется уравнение теплопроводности

Используя начальные и граничные условия, находят значения сеточной функции во всех узлах на нулевом временном уровне.

Затем с помощью соотношений

находятся значения этих функций во всех внутренних узлах на первом временном уровне, после чего находим значение на граничных узлах

Читайте также:  Приложение для планировки комнаты

В результате мы находим значение функций во всех узлах на первом временном уровне. После этого с помощью этих соотношений находим все остальные значения и т.д.

В рассматриваемой разностной схеме значения искомой функции на следующем временном уровне находится непосредственно, явно с помощью формулы

Поэтому рассматриваемая разностная схема, использующая этот шаблон, называется явной разностной схемой. Точность её имеет порядок .

Данная разностная схема проста в использовании, однако она обладает существенным недостатком. Оказывается, что явная разностная схема обладает устойчивым решением только в том случае, если выполняется условие:

Явная разностная схема является условно устойчивой. Если условие не выполняется, то небольшие погрешности вычислений, например, связанные с округлением данных компьютера приводит к резкому изменению решения. Решение становится неприемлемым для использования. Это условие накладывает весьма жесткие ограничения на шаг по времени, что может оказаться неприемлемым из-за значительного увеличения времени счета решения этой задачи.

Рассмотрим разностную схему, использующую другой шаблон

Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.

Подставим в уравнение теплопроводности:

Это соотношение записывается для каждого внутреннего узла на временном уровне и дополняется двумя соотношениями, определяющими значения в граничных узлах. В результате получается система уравнений для определения неизвестных значений функции на временном уровне.

Схема решения задачи следующая:

С помощью начальных и граничных условий находится значение функции на нулевом временном уровне. Затем с помощью этих соотношений и граничных условий строится система линейных алгебраических уравнений для нахождения значения функции на первом временном уровне, после чего опять с помощью этих соотношений строится система, и находятся значения на втором временном уровне и т.д.

Отличие от явной схемы — значения на очередном временном уровне вычисляются не непосредственно с помощью готовой формулы, а находится путем решения системы уравнений, т.е. значения неизвестных находятся неявно путем решения СЛАУ. Поэтому разностная схема называется неявной. В отличие от явной неявная является абсолютно устойчивой.

Тема №9 Задачи оптимизации.

Эти задачи являются одними из важнейших задач прикладной математики. Под оптимизацией понимают выбор наилучшего варианта из всех возможных решений данной задачи. Для этого необходимо сформулировать решаемую задачу как математическую, придав количественный смысл понятиям лучше или хуже. Обычно в процессе решения необходимо найти оптимизируемые значения параметров. Эти параметры называют проектными. А число проектных параметров определяет размерность задачи.

Количественная оценка решения производится с помощью некоторой функции зависящей от проектных параметров. Эта функция называется целевой. Она строится таким образом, чтобы наиболее оптимальное значение соответствовало максимуму(минимуму).

— целевая функция.

Наиболее просты случаи, когда целевая функция зависит от одного параметра и задаётся явной формулой. Целевых функций может быть несколько.

Например, при проектировании самолёта требуется одновременно обеспечить максимальную надежность, минимальные вес и стоимость и т.д. В таких случаях вводится система приоритетов. Каждой целевой функции ставится в соответствие некоторый целевой множитель в результате получается обобщенная целевая функция(функция компромиссов).

Читайте также:  Что такое скалер в телевизоре

Обычно оптимальное решение ограничено рядом условий связанных с физической функцией задачи. Эти условия могут иметь вид равенств или неравенств

Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследований одного из разделов прикладной математики – математического программирования.

Если целевая функция линейна относительно проектных параметров и ограничения, накладываемые на параметры также линейны, то возникает задача линейного программирования. Рассмотрим методы решения одномерной задачи оптимизации.

Требуется найти значения на при которых целевая функция имеет максимальное значение. Если целевая функция задана аналитически и может быть найдено выражение для её производных, то оптимальное решение будет достигаться либо на концах отрезка, либо в точках в которых производная обращается в ноль. Это критические точки и . Необходимо найти значения целевой функции во всех критических точках и выбрать максимальное.

В общем случае для нахождения решения применяют различные методы поиска. В результате происходит сужение отрезка содержащего оптимальное решение.

Рассмотрим некоторые из методов поиска. Предположим, что целевая функция на промежутке имеет один максимум. В этом случае, разбив узловыми точками , число которых , вычисляют целевую функцию в этих узловых точках. Предположим, что максимальное значение целевой функции будет в узле , тогда можно считать, что оптимальное решение находится на интервале . В результате произведено сужение отрезка, содержащего оптимальное решение. Полученный новый отрезок вновь разбивают на частей и т.д. При каждом разбиении отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшаются в раз.

Предположим, что произведено шагов сужения. Тогда исходный отрезок уменьшается в раз.

То есть, делаем пока выполняется (*)

При этом производится вычислений целевой функции.

Требуется найти такое значение, чтобы выражение (*) было получено при наименьшем

числе вычислений .

2.3.1. Методические указания

Для уравнения теплопроводности

(3.1)

с граничными условиями

; ; ; (3.2)

строится сетка с шагами h и k:

; (i,j=0,1,2…).

Шаблон выбирается в виде неявной схемы (рисунок 2.2)

Дифференциальное уравнение (3.1) заменяется конечно-разностными уравнениями в соответствии с выбранным шаблоном.

, (3.3)

где — масштабный коэффициент для шагов h и k.

При этом граничные условия (3.2) принимают вид

; . (3.4)

Метод прогонки позволяет работать с ненулевыми элементами трехдиагональной матрицы системы уравнений (3.2); (3.3). Здесь осуществляется прямой ход для определения вспомогательных коэффициентов ; и обратный ход для получения решения .

Для начала прямого хода коэффициенты считаются по формулам

(3.5)

Для обратного хода вычисление функции

(3.6)

Вычисленные значения по (3.6) дают таблицу решения для одного слоя.

2.3.2. Порядок выполнения работы

1. В соответствии с заданным вариантом табл. 2.3 составьте программу метода прогонки и подготовьте данные.

2. Проведите расчет и получите таблицу решений.

3. Ответьте на вопросы:

1. В чем преимущество метода прогонки?

2. Как выбрать масштабный коэффициент?

3. Каково условие устойчивости данной схемы метода прогонки?

4. Как выполняется прямой и обратный ход, по слоям оси y или сразу на всем отрезке оси y?

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector