Уравнение плоскости проходящей через заданную точку

Уравнение плоскости проходящей через заданную точку

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами ( a , 0, 0), (0, b , 0) и (0, 0, с ), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x + y + z = 1
a b c

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M( x , y , z ) и вектора нормали плоскости n = < A; B; C >можно использовать следующую формулу.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) и C( x 3, y 3, z 3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x — x 1 y — y 1 z — z 1 = 0
x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1
x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Читайте также:  Почему не убирается панель задач

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:

. (1)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M и и через прямую L(Рис.1).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:

A(xx)+B(yy)+C(zz)=0. (2)

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:

A(xx1)+B(yy1)+C(zz1)=0. (3)

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Am+Bp+Cl=0 (4)

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

A(x1x)+B(y1y)+C(z1z)=0. (5)

Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:

. (6)

Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.

(7)

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M(x, y, z)=M(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

A(x1x)+B(y1y)+C(z1z)=0. (8)

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Читайте также:  Minecraft closed with exit code 1 0xffffffff
q=<m, p, l>=

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Am+Bp+Cl=0 (9)
(10)
(11)

Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(12)

Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:

(13)

Упростим уравнение (13):

(14)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:

(15)

Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:

(16)

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M(x, y, z) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:

A(xx)+B(yy)+C(zz)=0. (17)

Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:

A(xx1)+B(yy1)+C(zz1)=0. (18)

Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:

A(x1x)+B(y1y)+C(z1z)=0. (19)

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

q=<m, p, l>=

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :

Am+Bp+Cl=0. (20)
(21)
(22)

Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(23)

Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Читайте также:  Люмия 535 не работает камера

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:

(24)

Упростим уравнение (24):

(25)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.

(26)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).

Плоскость, проходящая через данную точку М;z) и через данную прямую K

и не проходящую через точку М, представляется уравнением (1):


Эта запись в векторной форме (2):

(rr)(r1r)а = 0

Уравнение (1) или (2) выражает компланарность векторов а
и $overrightarrow <M> $, $overrightarrow <> $

Примечание
Если прямая K проходит через точку М, то уравнение (1) становится тождеством и, следовательно, задача имеет бесчисленное множество решений.

Пример
Плоскость, проходящая через точку М(5;2;3) и прямую

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector