Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Как найти?

Постановка задачи

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ F(x,y,z) = 0 $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Уравнение касательной плоскости к поверхности записывается следующем образом:

$$ F’_x igg |_M (x-x_0) + F’_y igg |_M (y-y_0) + F’_z igg |_M (z-z_0) = 0 $$

Уравнение нормали к поверхности составляется по формуле:

  1. Находим частные производные $ F’_x, F’_y, F’_z $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $
  2. Подставляем найденные значения производных в формулы для составления уравнений

Если в условии задачи задана точка $ M (x_0,y_0) $ с двумя координатами, то необходимо дополнительно вычислить координату $ z_0 $ из уравнения $ F(x_0,y_0,z_0) = 0 $, подставив в него известные координаты $ x_0 $ и $ y_0 $.

Примеры решений

Переносим $ z $ в правую часть и записываем поверхность в виде:

$$ F(x,y,z) = x^2 + y^2 — z $$

Находим частные производные первого порядка функции $ F(x,y,z) $:

$$ F’_x = 2x $$ $$ F’_y = 2y $$ $$ F’_z = -1 $$

Вычисляем значения полученных производных в точке $ M(1,-2,5) $:

$$ F’_x Big |_M = F’_x(1,-2,5) = 2 cdot 1 = 2 $$

$$ F’_y Big |_M = F’_y (1,-2,5) = 2 cdot (-2) = -4 $$

$$ F’_z Big |_M = F’_z (1,-2,5) = -1 $$

Подставляем полученные данные в формулу касательной плоскости:

Раскрываем скобки и записываем окончательное уравнение плоскости:

$$ 2x — 4y — z — 5 = 0 $$

Теперь запишем уравнение нормали к поверхности с помощью второй формулы:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

$$ 2x — 4y — z — 5 = 0 $$

Пример 1
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = x^2 + y^2 $ в точке $ M(1,-2,5) $
Решение
Ответ

Записываем поверхность в виде: $$ F = e^ — z $$

Находим частные производные от функции $ F(x,y,z) $:

$$ F’_x = e^ cdot (xcos y)’_x = cos y e^ $$

$$ F’_y = e^ cdot (xcos y)’_y = -xsin y e^ $$

Вычисляем значения производных в точке $ M(1,pi,frac<1>) $:

$$ F’_x Big |_M = F’_x (1,pi,frac<1>) = cos pi cdot e^ <1 cdot cos pi>= -1 cdot e^ <(-1)>= -e^ <-1>$$

$$ F’_y Big |_M = F’_y (1,pi, frac<1>) = -1 cdot sin pi cdot e^ <1 cdot cos pi>= -1 cdot 0 cdot e^1 = 0 $$

Подставляем в первую формулу касательной плоскости полученные ранее неизвестные данные:

$$ -e^<-1>(x-1) + 0 cdot (y-pi) + (-1) cdot (z-frac<1>) = 0 $$

Домножаем обе части уравнения на $ -e $ и получаем окончательное уравнение плоскости:

Используя вторую формулу находим уравнение нормали к поверхности:

Умножим уравнение на дробь $ frac<1> <-e>$:

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M(x,y,z) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z = f’x(x,y,z)(x — x) + f’y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 0 , y = 1 , тогда z = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М(x, y, z), принадлежащей ей, если x = –1, y = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М(x, y, z) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z, подставив заданные x = –1 и y = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х, y) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x,y,z).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z = f’x(x,y,z)(x — x) + f’y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 1, y = 2, тогда z = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Пусть поверхность задана в неявном виде: $F(x,y,z)=0$ и пусть точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ принадлежит данной поверхности. Тогда уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке $M_0$ таково:

Уравнение нормали имеет вид:

Если же уравнение поверхности задано в явном виде $z=f(x,y)$, то уравнение касательной плоскости имеет вид:

Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково:

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть

Формулы (3) и (4) легко получить из формул (1) и (2). Если $z=f(x,y)$, то перенося $z$ в правую часть равенства получим: $f(x,y)-z=0$. Обозначая $F(x,y,z)=f(x,y)-z$, получим: $F_^<‘>=left(f(x,y)-z
ight)_
^<‘>=f_^<‘>(x,y)-0=f_^<‘>(x,y)$. Аналогично и $F_^<‘>=left(f(x,y)-z
ight)_
^<‘>=f_^<‘>(x,y)-0=f_^<‘>(x,y)$. Что же касается последней производной (т.е. производной по переменной $z$), то тут нужно учесть, что выражение $f(x,y)$ не содержит $z$, поэтому: $F_^<‘>=left(f(x,y)-z
ight)_
^<‘>=0-1=-1$. Подставляя в формулы (1) и (2) вместо $F_
^<‘>$, $F_^<‘>$, $F_^<‘>$ соответственно $f_^<‘>$, $f_^<‘>$ и $-1$ и получим формулы (3) и (4).

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=3x^2y^4-6xy^3+5x-4y+10$ в точке $M_0(-2;1;20)$.

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$, $y_0$, $z_0$ (координаты точки $M_0$) в нашем случае таковы: $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$. Но перед тем, как переходить к решению, осуществим небольшую проверку. Убедимся, что точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Эта проверка не является обязательной, но желательна, ибо ошибка в условиях подобных задач – дело вовсе не редкое. Подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в уравнение нашей поверхности и убедимся, что $z_0$ действительно равно 20:

$$ z_0=3x_<0>^<2>y_<0>^<4>-6x_0y_<0>^<3>+5x_0-4y_0+10=3cdot (-2)^2cdot 1^4-6cdot (-2)cdot 1^3-4cdot 1+10=12+12-4=20. $$

Проверка пройдена, точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. $z_^<‘>$ и $z_^<‘>$:

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в выражения частных производных:

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0
ight)=-13$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0
ight)=80$ в формулу (3) получим уравнение касательной плоскости:

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0
ight)=-13$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0
ight)=80$ в формулу (4) получим уравнение нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $-13x+80y-z-86=0$; нормаль: $frac<-13>=frac<80>=frac<-1>$.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=5sqrt-2xy-39$ в точке $M_0(3;-4;z_0)$.

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=3$, $y_0=-4$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

Теперь, как и в предыдущем примере, перейдём к нахождению частных производных $z_^<‘>$ и $z_^<‘>$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения при $x=x_0$ и $y=y_0$:

Подставляя $x_0=3$, $y_0=-4$, $z_0=10$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0
ight)=11$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0
ight)=-10$ в формулы (3) и (4) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $11x-10y-z-63=0$; нормаль: $frac<11>=frac<-10>=frac<-1>$.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $3xy^2z+5xy+z^2=10xz-2y+1$ в точке $M_0(1;-2;3)$.

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

Обозначим $F(x,y,z)=3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$ и применим формулы (1) и (2). Значения $x_0$, $y_0$ и $z_0$ как и ранее обозначают координаты точки $M_0$, т.е. $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$.

Проверим, действительно ли точка $M_0$ лежит на данной поверхности. Для этого подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражение $3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$ и выясним, равен ли нулю полученный результат:

Итак, точка $M_0$ действительно лежит на данной поверхности. Естественно, что данная проверка не является обязательной, но она крайне желательна. Перейдём к дальнейшему решению. Нам нужно найти $F_^<‘>$, $F_^<‘>$ и $F_^<‘>$:

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражения частных производных:

Подставляя $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$, $F_^ <‘>left(M_0
ight)=-4$, $F_^ <‘>left(M_0
ight)=-29$ и $F_^ <‘>left(M_0
ight)=8$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $-4x-29y+8z-78=0$; нормаль: $frac<-4>=frac<-29>=frac<8>$.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z^3+4xyz=-3x^2+5y+7$ в точке $M_0(0;-3;z_0)$.

Поверхность задана в неявном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (1) и (2). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=0$, $y_0=-3$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

Обозначим $F(x,y,z)=z^3+4xyz+3x^2-5y-7$ и применим формулы (1) и (2). Найдём частные производные первого порядка $F_^<‘>$, $F_^<‘>$ и $F_^<‘>$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения в точке $M_0$:

Подставляя $x_0=0$, $y_0=-3$, $z_0=-2$, $F_^ <‘>left(M_0
ight)=-24$, $F_^ <‘>left(M_0
ight)=-5$ и $F_^ <‘>left(M_0
ight)=12$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $-24x-5y+12z+9=0$; нормаль: $frac<-24>=frac<-5>=frac<12>$.

Пример 2
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = e^ $ в точке $ M(1,pi, frac<1>) $
Решение
Ссылка на основную публикацию
Adblock detector