Уравнение движения тела массой

Уравнение движения тела массой

Для начала сформулируем, что такое переменная масса.

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Уравнение движения материальной точки с переменной массой

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m ( t ) , а ее скорость как v ( t ) . То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно m v . После того, как пройдет время d t , обе эти величины получат приращение (соответственно d m и d v , причем значение d m будет меньше 0 ). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

( m + d m ) ( v + d v ) .

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время d t также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно d m г а з v г а з . Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t + d t и количеством движения системы во время t . Так мы найдем приращение данной величины за время d t , которое будет равно F d t (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

( m + d m ) ( v + d v ) + d m г а з + v г а з — m v = F d t .

Поскольку нам важны именно предельные значения d m d t , d v d t и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение d m · d v может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

d m + d m г а з = 0 .

Теперь исключим массу газов d m г а з и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью v о т н = v г а з — v . Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:

d m v = v о т н d m + F d t .

Теперь разделим его на d t и получим:

m d v d t = v о т н d m d t + F .

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Уравнение m d v d t = v о т н d m d t + F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.

Формула Циолковского

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи v о т н . Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора v о т н является отрицательной. Она будет равна — v о т н . Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

m d v = v о т н d m .

Тогда равенство примет вид:

d v d m = — v о т н m .

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0 , а масса m 0 . Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C = v о т н ln m 0 m .

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

v = v о т н ln m 0 m или m 0 m = e v v о т н .

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью v о т н . Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m 0 и конечной m .

Решение

Ускорение по абсолютной величине будет равно a = ω 2 r = ω v , причем v = c o n s t .

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

m d v d t = v о т н d m d t перейдет в m v ω d t = — v о т н d m .

Читайте также:  Может ли сгореть усилитель

Поскольку d a = ω d t является углом поворота за время d t , то после интеграции первоначального уравнения получим:

a = v о т н v ln m 0 m .

Ответ: искомый угол будет равен a = v о т н v ln m 0 m .

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 к г . Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 к г / с , а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м / с . Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

m ∆ v 0 ∆ t = μ v о т н — m g .

Здесь m = m 0 — μ t и v 0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:

∆ v 0 = μ v о т н m 0 — μ t — g ∆ t .

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

v 0 = v о т н ln m 0 m 0 — μ t — g t .

С учетом того, что H 0 = 0 при t = 0 , у нас получится:

H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 .

Добавим заданные значения и найдем ответ:

H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 = 3177 , 5 м .

Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177 , 5 м .

Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).
Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величины v+dv. Изменение импульса системы за время dt будет равно:


где u — скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:


Если на систему действуют внешние силы, то или dp = Fdt. Тогда Fdt = mdv + udm, или

(2.12)

где член называют реактивной силой Fp. Если вектор u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.
Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:

(2.13)

Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского.
Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая F = 0 и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:


откуда

или

где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени v=0, а стартовая масса ракеты составляет m, то C = u*ln m. Следовательно,

(2.14)

Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:
а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m;
б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости v и u намного меньше скорости света c.

Краткие выводы

  • Динамика – раздел механики, предметом изучения которого являются законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.
  • В основе динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела лежат законы Ньютона. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета и формулируется следующим образом: существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действие других тел компенсируется.
  • Инерциальной называется система отсчета, относительно которой свободная материальная точка, на которую не действуют другие тела, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, называется неинерциальной.
  • Свойство любого тела оказывать сопротивление изменению его скорости называется инертностью. Мерой инертности тела при его поступательном движении является масса.
  • Сила – это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.
  • Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое телом (материальной точкой), пропорционально равнодействующей приложенных сил, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела:

или

Более общая формулировка второго закона Ньютона гласит: скорость изменения импульса тела (материальной точки) равна равнодействующей приложенных сил:


где p=mv — импульс тела. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.
Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга взаимно. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль соединяющей точки прямой (третий закон Ньютона):

F12 = -F21

Эти силы приложены к разным точкам, действуют парами и являются силами одной природы.
В замкнутой механической системе выполняется фундаментальный закон природы – закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек (тел) с течением времени не изменяется:


где n – число материальных точек в системе. Замкнутой (изолированной) называется механическая система, на которую не действуют внешние силы.

Читайте также:  Pioneer carplay sph da120
  • Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства не изменяются.
  • Вопросы для самоконтроля и повторения

    1. Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?
    2. Какое свойство тела называется инертностью? Что является мерой инертности тела при его поступательном движении?
    3. Что такое сила, чем она характеризуется?
    4. Какие основные задачи решает ньютоновская динамика?
    5. Сформулируйте законы Ньютона. Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона?
    6. В чем заключается принцип независимости действия сил?
    7. Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми (изолированными)?
    8. Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких системах он выполняется?
    9. Каким свойством пространства обусловлена справедливость закона сохранения импульса?
    10. Выведите уравнение движения тела переменной массы. Какие практические выводы позволяет сделать формула Циолковского?

    Примеры решения задач

    Задача 1. Грузы одинаковой массы (m1=m2=0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола (рис. 2.2). Коэффициент трения груза m2 о стол µ = 0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить: а) ускорение, с которым движутся грузы; б) силу натяжения нити.
    Дано: m1=m2=0,5 кг; µ = 0,15.
    Найти: а, Т.
    Решение По второму закону Ньютона уравнения движения грузов имеют вид:

    Задача 2. Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость второго, меньшего, осколка.
    Дано: m = 5 кг; v = 300 м/с; m1 = 3 кг; v1 = 100 м/с.
    Найти: v2.
    Решение По закону сохранения импульса mv = m1v1 + m2v2;


    Ответ: v2 = 900 м/с.

    Задачи для самостоятельного решения

    1. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону s = A — Bt + Ct 2 — Dt 3 , где С = 2 м/с 2 , D = 0,4 м/с 3 . Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.
    2. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с 2 ; б) опускать с тем же ускорением.
    3. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α равен 20°), действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением, определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость.
    4. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином µ = 0,15. Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина.
    5. Два груза с неравными массами m1 и m2 (m1 >m2) подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: а) ускорение грузов; б) силу натяжения нити.
    6. Платформа с песком общей массой М = 2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450 м/с, а ее направление – сверху вниз под углом 30° к горизонту.
    7. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола под углом 60° к горизонту. Определить скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.
    8. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина которой 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка передвинется по воде относительно дна?
    9. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от нее с такой же скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30° к плоскости стенки.
    10. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями соответственно 5 и 7 м/с. Определить скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: а) больший шар догоняет меньший; б) шары двигаются навстречу друг другу.

    Уравнение движения тела с переменной массой

    Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

    Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.

    Читайте также:  Database failure could not find driver mysql

    Пусть $m(t)$- масса ракеты в произвольный момент времени $t$, а $v(t)$- ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет $mv$. Спустя время $dt$ масса и скорость ракеты получат приращение $dm$ и $dv$ (величина $dm$ отрицательна). Количество движения ракеты станет равным $(m+dm)(v+dv)$. Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время $dt$. Оно равно $dm_ <газ>v_ <газ>$, где $dm_ <газ>$- масса газов, образовавшихся за время $dt$, а $v_ <газ>$- их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент $t+dt$ количество движения системы в момент времени $t$, найдем приращение этой величины за время $dt$. Это приращение равно $Fdt$, где $F$- геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:

    Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

    Время $dt$ и приращения $dm$ и $dv$ устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные $dm/dt$ и $dv/dt$. Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение $dmcdot dv$, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, $dm+dm_ <газ>=0$. Пользуясь этим, можно исключить массу газов $dm_ <газ>$. А разность $v_ <отн>=v_ <газ>-v$ есть скорость истечения газов относительно ракеты — скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:

    Разделив на $dt$, получаем:

    Уравнение Мещерского

    По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела $m$здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе $F$ добавляется дополнительный член $v_ <отн>frac

    $, который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским. Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

    Задай вопрос специалистам и получи
    ответ уже через 15 минут!

    Формула Циолковского

    Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:

    Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_ <отн>$. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_ <отн>$ на это направление будет отрицательной и равной $-v_ <отн>$. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_ <отн>dm$. Тогда:

    Скорость газовой струи $v_ <отн>$ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:

    Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_ <0>$. Тогда из предыдущего уравнения получаем:

    Последнее соотношение называется формулой Циолковского.

    Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый, чтобы сообщить ракете скорость $upsilon $.

    Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.

    Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.

    Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

    Примеры

    Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_ <отн>$ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_ <0>$, а конечная $m$.

    Решение:

    Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

    $a=omega ^ <2>r=omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:

    $mfrac

    =v_ <отн>frac
    $ переходит в: $mvomega dt=-v_ <отн>dm$.

    Так как $dalpha =omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:

    Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $alpha =frac <отн>> ln frac <0>> $

    Ракета перед стартом имеет массу $m_ <0>=250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_ <отн>$$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

    Дано: $m_ <0>=250$кг, $t=20$с, $mu =4$кг/с, $v_<отн>=1500$м/с.

    Решение:

    Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

    где $m=m_ <0>-mu t$, а $v_ <0>$- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:

    Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_ <0>=0$ при $t=0$, имеет вид:

    Учитывая что $H_ <0>=0$ при $t=0$ получим:

    Подставляя начальные значения, получаем:

    Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.

    Так и не нашли ответ
    на свой вопрос?

    Просто напиши с чем тебе
    нужна помощь

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector