Экспонента в степени логарифма

Экспонента в степени логарифма

Определение

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x )′ = 1/ x .

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045. ;
.

График натурального логарифма ln x

График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Область определения
Область значений – ∞
Монотонность монотонно возрастает
Нули, y = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет
+ ∞
– ∞

Значения ln x

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм".

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если 0)" style="width:132px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -296px -320px;"> , то

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-04-2014 Изменено: 20-03-2017

х — ехр(-я). Логарифмы с основанием е называют натуральными. Для них основное логарифмическое тождество имеет вид Функция Ins обладает всеми свойствами логарифмической функции с основанием, большим единицы. Справедливы известные формулы перехода от одного основания к другому, в частности Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции Таким образом, ex и Ins являются частными случаями (при основании а = е) основных элементарных функций: показательной ах и логарифмической logas. Пример 7.14. Пусть перед началом работы ракетного двигателя ракета имеет массу то и скорость vo. Процесс работы двигателя условно разделим на большое число п € N этапов (рис. 7.14). На первом этапе со скоростью w относительно ракеты отбрасывается некоторая масса Ami продуктов сгорания топлива. В результате, согласно закону сохранения количества движения (без учета влияния атмосферы и поля тяготения) Рис. 7.13 возникает приращение скорости ракеты где mi = mo — Ami — масса ракеты после первого этапа работы двигателя. Подобным образом на втором этапе и т.д. Этапы работы двигателя выберем так, чтобы Av = = Лиг = . = Д vn = Д v. Тогда можно написать С учетом того, что где через тк обозначена масса ракеты в конце работы двигателя (после п этапов), когда скорость ракеты составляет и с учетом (7.44) Реальный процесс горения топлива в двигателе протекает не по отдельным этапам, а непрерывно, т.е. число этапов . Это означает, что х = nw/(vK — vo) оо. Переходя в (7.45) к пределу при х оо, с учетом (7.38) получим После логарифмирования по основанию е придем к известной формуле Циолковского Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции для идеальной скорости ракеты, движущейся в пустоте вне поля тяготения. Отношение то/тк — число Циолковского — характеризует совершенство конструкции ракеты. Чем это число больше (см. график функции In я на рис. 7.13), тем ббльшую долю составляет запас топлива от начальной массы то ракеты, тем выше относительный прирост (vK — Vo)/w ее скорости и выше ее конечная скорость vK. Скорость w истечения продуктов сгорания топлива характеризует совершенство ракетного двигателя. С ее увеличением также растет конечная скорость ракеты, причем прямо пропорционально. Рассмотренный путь вывода (7.46), опирающийся на второй замечательный предел, принадлежит одному из пионеров теоретической космонавтики Ю.В. Кондратюку (1897-1941). В работах К.Э. Циолковского (1857-1935) соотношение (7.46) получено с использованием мощного аппарата дифференциального и интегрального исчисления. С экспоненциальной функцией тесно связаны гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс: Они являются элементарными функциями, поскольку получены из основной элементарной функции ех путем суперпозиции (е"х) и алгебраических операций. Отметим, что chx — четная, a shх, thz, cthx — нечетные функции (рис. 7.15). Аналогом известной формулы cos2 х + sin2 х = 1 для гиперболических функций является формула Как и тригонометрические функции, каждая из гиперболических имеет обратную функцию. Рис. 7.15 Вопросы и задачи 7.1. Записать в символической форме определения для случаев: Привести пример функции /(x) для каждого из случаев. 7.2. Привести пример функции, не имеющей предела при х -> +оо, но имеющей предел при 7.3. Показать, что существует S > 0 , такое, что для любых х, удовлетворяющих неравенству справедливо: 7.4. Используя определение 7.9 предела по Гейне, проверить, существуют ли пределы функции cosx при х оо и функции 7.5. Показать, что lim х2 = а2 и lim-— = 2. 7.7. Найти значения /(a+0), f(a-0) и lim/(х) (если они существуют) для функций: Для каких функций прямая х = а является асимптотой их 7.11. Найти а и 6 из условий: 7.12. Доказать, исходя из определения предела по Кощи, что: Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции при . Является ли прямая у = 2 асимптотой графика функции /(ж) ? 7.13. Доказать, что если /(ж) определена в промежутке (а, +оо) и ограничена в каждом конечном интервале (а, Ь), то а если к тому же существует конечный или бесконечный

Читайте также:  Бесплатные программы это определение

Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
© Брильёнова Наталья Валерьевна

За основание логарифмов нередко берут цифру е = 2,718281828. Логарифмы по данному основанию именуют натуральным. При проведении вычислений с натуральными логарифмами общепринято оперировать знаком ln, а не log; при этом число 2,718281828, определяющие основание, не указывают.

Другими словами формулировка будет иметь вид: натуральный логарифм числа х — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.

Так, ln(7,389. )= 2, так как e 2 =7,389. . Натуральный логарифм самого числа e= 1, потому что e 1 =e, а натуральный логарифм единицы равен нулю, так как e 0 = 1.

Само число е определяет предел монотонной ограниченной последовательности

вычислено, что е = 2,7182818284. .

Весьма часто для фиксации в памяти какого либо числа, цифры необходимого числа ассоциируют с какой-нибудь выдающейся датой. Скорость запоминания первых девяти знаков числа е после запятой возрастет, если заметить, что 1828 — это год рождения Льва Толстого!

Число е является иррациональным. Французский математик Эрмит (1822 — 1901) обосновал, что это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа именуются трансцендентными.

На сегодняшний день существуют достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.

График натурального логарифма (функции y = ln x) является следствием графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой у = х и имеет вид:

Натуральный логарифм может быть найден для каждого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a.

Элементарность этой формулировку, которая состыковывается со многими другими формулами, в которых задействован натуральный логарифм, явилось причиной образования названия «натуральный».

Если анализировать натуральный логарифм, как вещественную функцию действительной переменной, то она выступает обратной функцией к экспоненциальной функции, что сводится к тождествам:

Читайте также:  Как вставлять бумагу в факс для отправки

По аналогии со всеми логарифмами, натуральный логарифм преобразует умножение в сложение, деление в вычитание:

Логарифм может быть найден для каждого положительного основания, которое не равно единице, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, обычно, определяются в терминах натурального логарифма.

Проанализировав график натурального логарифма, получаем, что он существует при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x пределом натурального логарифма выступает минус бесконечность ( –∞ ).При x → +∞ пределом натурального логарифма выступает плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a возрастает быстрее логарифма. Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумы у него отсутствуют.

Использование натуральных логарифмов весьма рационально при прохождении высшей математики. Так, использование логарифма удобно для нахождения ответа уравнений, в которых неизвестные фигурируют в качестве показателя степени. Применение в расчетах натуральных логарифмом дает возможность изрядно облегчить большое количество математических формул. Логарифмы по основанию е присутствуют при решении значительного числа физических задач и естественным образом входят в математическое описание отдельных химических, биологических и прочих процессов. Так, логарифмы употребляются для расчета постоянной распада для известного периода полураспада, или для вычисления времени распада в решении проблем радиоактивности. Они выступают в главной роли во многих разделах математики и практических наук, к ним прибегают в сфере финансов для решения большого числа задач, в том числе и в расчете сложных процентов.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector