Являются ли векторы ортогональными

Являются ли векторы ортогональными

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

рис. 1

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Так в случае плоской задачи для векторов a = < ax ; ay > и b = < bx ; by > , условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 — 2 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2 n + 4
2 n + 4 = 0
2 n = -4
n = -2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz >, условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 — 2 + 0 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4
2 n — 4 = 0
2 n = 4
n = 2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю: векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда . В координатах данный факт запишется следующим образом:
(для векторов плоскости);
(для векторов пространства).

Читайте также:  Yamaha ns 777 обзоры и тесты

а) Проверить ортогональность векторов: и
б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки и , если

Решение:
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение:
, следовательно,

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости (в чём сходство и различия вектора и отрезка, я очень подробно разъяснил на первом уроке). Речь идёт об обычных отрезках, а задача всё равно решается через векторы. Найдём векторы:

Вычислим их скалярное произведение:
, значит, отрезки и не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

– В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.

– В окончательном выводе «между строк» подразумевается: «если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными». Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках: «значит,отрезки и не перпендикулярны».

Ответ:а) , б) отрезки не перпендикулярны.

Даны четыре точки пространства . Выяснить будут ли перпендикулярными следующие прямые:
а) ;
б) .

Это задача для самостоятельного решения. В условии требуется проверить перпендикулярность прямых. А решается задача снова через векторы по полной аналогии с предыдущим примером. Геометрически тоже всё очевидно – если удастся доказать перпендикулярность векторов, то из этого автоматически будет следовать перпендикулярность соответствующих прямых. Четыре вектора, которые вы найдёте, называют направляющими векторами прямых.

Полное решение и ответ в конце урока.

Мощь аналитической геометрии – в векторах. Так, в рассмотренных примерах, с помощью скалярного произведения можно установить не только ортогональность векторов самих по себе, но и перпендикулярность отрезков, прямых. И это приоткрылась только малая часть красоты предмета.

Завершая разговор об ортогональности, разберу ещё одну небольшую задачу, которая время от времени встречается на практике:

Читайте также:  Полиуретановый плинтус для пола отзывы

При каком значении векторы будут ортогональны?

Решение:По условию требуется найти такое значение параметра , чтобы данные векторы были ортогональны. Два вектора пространства ортогональны тогда и только тогда, когда .

Дело за малым, составим уравнение:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Решаем простейшее линейное уравнение:

Ответ: при

В рассмотренной задаче легко выполнить проверку, в исходные векторы подставляем полученное значение параметра :

И находим скалярное произведение:
– да, действительно, при векторы ортогональны, что и требовалось проверить.

При каком значении скалярное произведение векторов будет равно –2?

Это простенький пример с векторами плоскости. Для самостоятельного решения.

Немного усложним задачу:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8960 — | 7624 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; — 1 >ортогональны.

Читайте также:  Minus org сделать минус

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; — 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; — 8 >будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector