Является ли множество открытым

Является ли множество открытым

Одна из основных задач теории точечных множеств — изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал — открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты, а несобственные интервалы и открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку , которая принадлежит множеству.

Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.

3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть — произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества и обозначим через множество всех точек па прямой, не принадлежащих множеству . Ясно, что если есть внешняя точка для , то она является внутренней точкой для множества и обратно.

4. Если множество замкнуто, то его дополнение открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть — замкнутое множество. Интервал , обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству , а точки и принадлежат , называется смежным интервалом множества . К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или , если точка или точка принадлежит множеству , а сами интервалы с не пересекаются. Покажем, что если точка не принадлежит замкнутому множеству , то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества , расположенную правее точки . Так как сама точка не принадлежит множеству , то можно представить в форме пересечения

Каждое из множеств и замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству . Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале , то оно ограничено снизу. Обозначим через его нижнюю грань. Согласно предложению 3, , а значит . Далее, так как есть нижняя грань множества , то полуинтервал , лежащий левее точки , не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества . Итак, мы построили полуинтервал , не содержащий точек множества , причем либо , либо точка принадлежит множеству . Аналогично строится полуинтервал , не содержащий точек множества , причем либо , либо . Теперь ясно, что интервал содержит точку и является смежным интервалом множества . Легко видеть, что если и — два смежных интервала множества , то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Читайте также:  Дождевой лес forge of empires

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества . Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой — счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Канторово совершенное множество

Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и . После этой операции у нас останется отрезок . Далее, удалим из этого отрезка интервал , составляющий его среднюю треть. Из каждого из оставшихся двух отрезков и удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой .

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество называется совершенным , если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество совершенно. Действительно, если бы некоторая точка была изолированной точкой множества , то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества не имеют общих концов.

Множество не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал целиком принадлежит множеству . Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на -м шаге построения множества . Но это невозможно, так как при длины этих отрезков стремятся к нулю.

Можно показать, что множество имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Читайте также:  1С пишет лицензия не обнаружена что делать

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Приведем несколько примеров появления точечных множеств в классических разделах анализа. Пусть — непрерывная функция, заданная на отрезке . Зафиксируем число и рассмотрим множество тех точек , для которых . Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке . Точно так же множество точек , для которых alpha" png;base64,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" style="vertical-align: middle;" />, может быть каким угодно открытым множеством . Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке , то множество тех точек , где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечных множеств, называется дескриптивной теорией множеств . Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам — Н.Н. Лузину и его ученикам П.С. Александрову, М.Я. Суслину, А.Н. Колмогорову, М.А. Лаврентьеву, П.С. Новикову, Л.В. Келдыш, А.А. Ляпунову и др.

Исследования Н.Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

Теорема 3.1.Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть Gk , где k Î N — открытые множества.

Докажем, что — открытое множество.

3Выберем любую точку хоÎG. По определению объединения множеств точка хо принадлежит одному из множеств Gk . Поскольку Gk – открытое множество, то существует e — окрестность точки хо, которая целиком лежит в множестве Gk : U( xo, e) Ì Gk Þ U( xo,e) Ì G.

Получили, что любаю точка хоÎG – внутренняя, а это значит, что G – открытое множество. 4

Теорема 3.2.Пересечение конечного числа открытых непустых множеств– множества открытое.

Докажем, что — открытое множество.

Получили, что хо – внутренняя точка множества G, а это значит, что G – открытое множество. 4

Замечание 3.1.Пересечение бесконечного множества открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Пример 3.1. Пусть в пространстве R Gk = (2 1/k; 4+1/k), где k=1,2,…,n,…. G1=(1;5), G2(1,5;4,5), Отрезок [2;4] Ì Gk и не является открытым множеством, точки 2 и 4 не являются внутренними.

Теорема 3.3. Пересечение любой совокупности замкнутых непустых множеств – замкнутое множество.

Пусть Fk — замкнутые множества.

Докажем, что множество замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

3Пусть хо – предельная точка множества F. Из определения пересечения множеств следует, что в любой e — окрестности точки хо находится бесконечно много точек каждого из множеств Fk, а это значит, что хо – предельная точка каждого множества Fk . В силу замкнутости множеств Fk точка

Читайте также:  Аккумулятор максимальный ток разряда

хоÎ Fk "k Þ хоÎ F. Поскольку точка хо выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F, а это значит множесто F замкнутое. 4

Теорема 3.4. Объединение конечного числа замкнутых множеств – множество замкнутое.

Пусть каждое множество Fk замкнутое.

Докажем, что множество замкнутое, т.е., если хо – предельная точка множества F, то хоÎ F.

3Пусть хо – любая предельная точка множества F, тогда в любой e — окрестности точки хо существует бесконечно много точек множества . Поскольку количество множеств Fk конечное, то хо принадлежит хотя бы одному из множеств Fk, т.е. хо – предельная точка для этого множества.

В силу замкнутости Fk точка хо принадлежит Fk , а поэтому и множеству . Поскольку точка хо выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F, а это значит множество F замкнутое. 4

Замечание 3.2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

F1 = [3;4]; F2= [2,5;4,5]; …. Интервал (2;5) – открытое множество.

Примем без доказательства теоремы 3.5 и 3.6, связанные с дополнением множества Е до множества Х: СхЕ=СЕ.

Теорема 3.5. Если множество Е замкнутое, то его дополнение СЕ открытое множество.

Теорема 3.6.Если множество Е открытое, то его дополнение СЕ замкнутое множество.

Является ли множество на котором определена функция:
а) замкнутым;
б) открытым;
в) областью $$u(x, y) = arccos(2yx^2 + 2y — 1) $$ т.е. множество $$y ge 0 land y le frac <1><(x^2 + 1)>.$$

Хотелось бы некоторого строгого доказательства.

задан 21 Фев ’15 17:51

algogol
187 ● 1 ● 16
100&#037 принятых

1 ответ

а) Множество является замкнутым, потому что определяется в терминах нестрогих неравенств. Доказать это можно, например, так: рассмотреть дополнение, и проверить, что оно открыто. Если точка $%(x,y)$% принадлежит дополнению, то либо $%y frac1$%. В первом случае рассматриваем $%varepsilon$%-окрестность точки $%(x,y)$%, беря $%varepsilon=|y|$%. Ясно, что у всех точек этой окрестности ординаты будут отрицательны, поэтому она целиком содержится в дополнении.

Во втором случае рассмотрим число $%c=y-frac1 > 0$%. Если $%y$% изменить менее чем на $%c/2$%, а $%x$% — на некоторую величину $%delta$%, при которой значение непрерывной функции $%frac1$% также изменится менее чем на $%c/2$%, то этим задаётся окрестность точки $%(x,y)$%, для всех элементов которой справедливо то же самое неравенство.

Можно рассуждать по-другому, рассматривая последовательность точек $%(x_n,y_n)$%, сходящуюся к некоторой точке $%(x,y)$%. Тогда, если $%y_nge0$% и $%y_ngefrac1$%, то можно перейти к пределу в неравенствах и получить $%yge0$%, $%ylefrac1$%. Это означает замкнутость рассматриваемого множества.

б) Открытым множество не будет, так как можно взять точку $%(0;0)$% этого множества и заметить, что в любой её $%varepsilon$%-окрестности найдутся точки с отрицательной ординатой.

в) Последний вопрос нужно уточнить. Под областью иногда понимают то же, что открытое множество, и тогда это вопрос предыдущего пункта. Иногда областью называют произвольное множество (например, область определения некоторой функции), и тогда доказывать нечего.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector