В математике , аналитическая функция является функцией , локально задаются сходящимся степенным рядом . Там существуют как вещественные аналитические функции и сложные аналитические функции , категории, которые похожи в некоторых отношениях, но отличается в других. Функции каждого типа бесконечно дифференцируемы , но свойства комплексных аналитических функции демонстрируют , что не держу вообще для реальных аналитических функций. Функция является аналитической тогда и только тогда , когда ее ряд Тейлора о й сходится к функции в некоторых окрестностях для каждого х в домене .
содержание
Определения
Формально функция является вещественно — аналитическая на открытом множестве в прямой , если для любого можно написать е < Displaystyle е> 
D < Displaystyle D> Икс 0 ∈ D < Displaystyle X_ <0> в D>
е ( Икс ) знак равно Σ N знак равно 0 ∞ a N ( Икс — Икс 0 ) N знак равно a 0 + a 1 ( Икс — Икс 0 ) + a 2 ( Икс — Икс 0 ) 2 + a 3 ( Икс — Икс 0 ) 3 + ⋯ < Displaystyle F (X) = сумма _ ^ < infty>A_ влево (х-X_ <0> вправо) ^ = а_ <0>+ а_ <1 >(х-X_ <0>) + а_ <2>(х-X_ <0>) ^ <2>+ а_ <3>(х-X_ <0>) ^ <3>+ cdots>
в котором коэффициенты являются действительными числами и ряд является сходящимся к для в окрестностях . a 0 , a 1 , . < Displaystyle a_ <0>, a_ <1>, точки> е ( Икс ) < Displaystyle F (X)> Икс < Displaystyle х> Икс 0 < Displaystyle X_ <0>>
В качестве альтернативы, аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой функцией такой , что ряд Тейлора в любой точке в своей области Икс 0 < Displaystyle X_ <0>>
T ( Икс ) знак равно Σ N знак равно 0 ∞ е ( N ) ( Икс 0 ) N ! ( Икс — Икс 0 ) N < Displaystyle Т (х) = сумма _ <п = 0>^ < infty> < гидроразрыва <е ^ <(п)>(X_ <0>)> <п!>> (Х-X_ <0 >) ^ <п>>
сходится к для в окрестности точечно . Множество всех вещественных аналитических функций на заданном множестве часто обозначается . е ( Икс ) < Displaystyle F (X)> Икс < Displaystyle х> Икс 0 < Displaystyle X_ <0>> D < Displaystyle D> С ω ( D ) < Displaystyle С ^ <, Omega>(D)>
Функция , определенная на некотором подмножестве вещественной прямой, называется вещественно — аналитической в точке , если существует окрестность о , на котором реально аналитическим. е < Displaystyle е> Икс < Displaystyle х> D < Displaystyle D> Икс < Displaystyle х> е < Displaystyle е>
Определение комплексной аналитической функции получается путем замены, в определениях выше, «реальный» с «комплексом» и «реальная линия» с «комплексной плоскостью». Функция является сложным аналитическим , если и только если она голоморфна т.е. комплекс дифференцируема. По этой причине термин «-голоморфные» и «аналитические» часто используются как взаимозаменяемые для таких функций.
Примеры
Типичные примеры аналитических функций:
- Все элементарные функции :
- Все многочлены : если многочлен имеет степень п , любые условия степени больше , чем п в ее разложения в ряд Тейлора должны немедленно исчезнуть в 0, и поэтому эта серия будет тривиально сходится. Кроме того, каждый многочлен является его собственный ряд Маклорена .
- Экспоненциальная функция является аналитической. Любой ряд Тейлора для этой функции сходится не только для й достаточно близко к й (как в определении) , но и для всех значений х (вещественного или комплексного).
- В тригонометрические функции , логарифм , и степенные функции являются аналитическими на любом открытом множестве их домена.
Большинство специальных функций (по крайней мере , в некотором диапазоне комплексной плоскости):
гипергеометрические функции
функции Бесселя
гамма-функция
Типичные примеры функций, которые не являются аналитическими являются:
- Абсолютное значение функции , когда определено на множестве действительных чисел или комплексных чисел не везде аналитическая , потому что она не дифференцируема в 0. Кусочно определены функции (функции , предоставляемые различными формулами в разных регионах) , как правило , не аналитическая , где штук встретиться.
- Комплексен сопряженная функция г → г * не является сложным аналитическим, хотя его ограничением на реальную линию является функцией идентичности и , следовательно , вещественными аналитической, и это вещественный аналитическим как функция от до . р 2 < Displaystyle mathbb ^ <2>>р 2 < Displaystyle mathbb ^ <2>>
- Другие неаналитические гладкие функции .
Альтернативные характеризации
Следующие условия эквивалентны:
1. ƒ является реальным аналитическим.
2. Существует комплексное аналитическое расширение ƒ на открытое множество G ⊂ C , который содержит D .
3. ƒ является реальным гладким и для любого компакта K ⊂ D существует константа C такой , что для любых х ∈ K и каждое неотрицательное целое число K справедлива оценка
| d К е d Икс К ( Икс ) | ≤ С К + 1 К ! < Displaystyle левая | < гидроразрыва е> <дх ^ <к>>> (х) право | Leq C ^ <к + 1>K!>
Сложные аналитические функции в точности эквивалентны голоморфных функций , и, таким образом , гораздо легче охарактеризовать.
Для случая аналитической функции с несколькими переменными (см ниже), реальная аналитичность можно охарактеризовать с помощью преобразования Фурье-Bros-Iagolnitzer . Третья характеристика имеет также прямое обобщение на многомерный случай.
Свойства аналитических функций
- Суммы, продукты и композиция аналитических функций являются аналитическими.
- Обратной аналитической функции, которая нигде не равна нулю , аналитическая, как это имеет место обратное обратимой аналитической функции которого производная нигде нулю. (Смотрите также теорему обращения Лагранжа .)
- Любая аналитическая функция гладкая , то есть бесконечно дифференцируемы. Обратное не верно для действительных функций; на самом деле, в некотором смысле, реальные аналитические функции немногочисленны по сравнению со всеми реальной бесконечно дифференцируемых функций. Для комплексных чисел, обратное не имеет места, а на самом деле любая функция дифференцируема один раз на открытом множестве аналитична на этом множестве (см «аналитичность и дифференцируемость» ниже).
- Для любого открытого множества Ω ⊆ C , множество (Ω) всех аналитических функций у : Ω → C является пространством Фреше относительно равномерной сходимости на компактах. Тот факт , что равномерные пределы на компактных множествах аналитических функций , аналитические является простым следствием теоремы Мореров . Множество всех ограниченных аналитических функций с нормой супремума является банахово пространство . A ∞ ( Ω ) < Displaystyle scriptstyle A _ < infty>( Omega)>
Полином не может быть равен нулю при слишком много точек , если она не является нулевой многочлен (точнее, число нулей в большинстве степень многочлена). Аналогичное , но более слабое утверждение справедливо и для аналитических функций. Если множество нулей аналитической функции ƒ имеет точку сгущения внутри своей области , то ƒ равна нулю всюду на компоненте связности , содержащей точку. Другими словами, если ( г п ) представляет собой последовательность различных чисел таким образом, что ƒ ( г п ) = 0 для всех п , и эта последовательность сходится к точке г в области D , то ƒ тождественно нулю на компоненте связности из D , содержащий г . Это известно как принцип постоянства .
Кроме того, если все производные аналитической функции в точке равны нулю, то функция постоянна на соответствующем компоненте связности.
Из этих утверждений следуют , что в то время как аналитические функции имеют больше степеней свободы , чем полиномы, они все еще довольно жесткие.
Аналитичность и дифференцируемость
Как было отмечено выше, любая аналитическая функция (вещественная или комплексная) бесконечно дифференцируема (также известный как гладкие или C ∞ ). (Обратите внимание , что эта дифференцируемость в смысле действительных переменных, сравнить сложные производные ниже) . Там существует гладкие вещественные функции, которые не являются аналитическими: см неаналитический гладкой функции . На самом деле есть много таких функций.
Ситуация совершенно иная , если учесть сложные аналитические функции и сложные производные. Можно доказать , что любая сложная функция дифференцируема (в комплексном смысле) в открытом множестве является аналитической . Следовательно, в комплексном анализе термин аналитическая функция является синонимом голоморфной функции .
Real против комплексных аналитических функций
Действительные и комплексные аналитические функции имеют существенные различия (можно заметить, что даже от их различных отношений с дифференцируемостью). Аналитичность сложных функций является более ограничительным свойством, поскольку оно имеет более жесткие необходимые условия и сложные аналитические функции имеют больше структуры, чем их реальные аналоги линии.
Согласно теореме Лиувилля , любая ограниченная комплексная аналитическая функция , определенная на всей комплексной плоскости постоянна. Соответствующее заявление для вещественных аналитических функций, с комплексной плоскости заменены на вещественной прямой, очевидно , ложно; это иллюстрируется
е ( Икс ) знак равно 1 Икс 2 + 1 , < Displaystyle F (X) = < гидроразрыва <1> <х ^ <2>+1>>.>
Кроме того , если комплексная аналитическая функция определена в открытом шаре вокруг точки х , ее разложение в степенной ряд по х сходится во всем открытом шаре ( голоморфные функции являются аналитическими ). Это утверждение для вещественных аналитических функций (с открытым шаром означает открытый интервал вещественной прямой , а не открытый диск комплексной плоскости) не соответствует действительности в целом; функции приведенного выше пример дает пример для й = 0 и шара радиуса , превышающего 1, так как степенной ряд 1 — х 2 + х 4 — х 6 . расходится при | х | > 1.
Любая реальная аналитическая функция на некотором открытом множестве на прямом может быть расширена до комплексной аналитической функции на некотором открытом множестве комплексной плоскости. Однако, не всякая вещественная аналитическая функция , определенная на всей числовой прямой может быть расширена до комплексной функции , определенной на всей комплексной плоскости. Функция ƒ ( х ) , определенная в приведенном выше пункте контрпример, так как она не определена для й = ± я . Это объясняет , почему ряд Тейлора ƒ ( х ) расходится при | х | > 1, то есть радиус сходимости равен 1 , так как комплексифицированная функция имеет полюс на расстоянии 1 от точки оценки 0 и без каких — либо дальнейших полюсов в пределах открытого диска радиуса 1 вокруг точки оценки.
Аналитические функции нескольких переменных
Можно определить аналитические функции нескольких переменных при помощи степенных рядов в этих переменных (см степенного ряда ). Аналитические функции нескольких переменных имеют некоторые из тех же свойств , как аналитические функции одной переменных. Однако, особенно для сложных аналитических функций, новых и интересных явлений проявляются при работе в 2 -х или более измерений:
- Нулевые множества комплексных аналитических функций в более чем одной переменной никогда не дискретно в связи с теоремой Гартогса о продолжении .
- Домены голоморфности для однозначных функций состоят из произвольных открытых множеств. Однако, в нескольких комплексных переменных характеристика областей голоморфности.- приводит к понятию псевдовыпуклости .
Анализ портал
