Формула зависимости массы от скорости

Формула зависимости массы от скорости

С новыми пространственно-временными представлениями не согласуются при больших скоростях движения законы механики Ньютона. Лишь при малых скоростях движения, когда справедливы классические представления о пространстве и времени, второй закон Ньютона

(2.4)

не меняет своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (выполняется принцип относительности).

Но при больших скоростях движения этот закон в своей обычной (классической) форме несправедлив.

Согласно второму закону Ньютона (2.4) постоянная сила, действующая на тело продолжительное время, может сообщить телу сколь угодно большую скорость. Но в действительности скорость света в вакууме является предельной, и ни при каких условиях тело не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Требуется совсем небольшое изменение уравнения движения тел, чтобы это уравнение было верным при больших скоростях движения. Предварительно перейдем к той форме записи второго закона динамики, которой пользовался сам Ньютон:

(2.5)

где — импульс тела. В этом уравнении масса тела считалась независимой от скорости.

Поразительно, что и при больших скоростях движения уравнение (2.5) не меняет своей формы.

Изменения касаются лишь массы. При увеличении скорости тела его масса не остается постоянной, а растет.

Зависимость массы от скорости можно найти, исходя из предположения, что закон сохранения импульса справедлив и при новых представлениях о пространстве и времени. Расчеты слишком сложны. Приведем лишь конечный результат.

Если через m обозначить массу покоящегося тела, то масса m того же тела, но двигающегося со скоростью , определяется формулой

(2.6)

На рисунке 43 представлена зависимость массы тела от его скорости. Из рисунка видно, что возрастание массы тем больше, чем ближе скорость движения тела к скорости света с.

При скоростях движения, много меньших скорости света, выражение чрезвычайно мало отличается от единицы. Так, при скорости современней космической ракеты 10 км/с получаем =0,99999999944.

Неудивительно поэтому, что заметить увеличение массы с ростом скорости при таких сравнительно небольших скоростях движения невозможно. Но элементарные частицы в современных ускорителях заряженных частиц достигают огромных скоростей. Если скорость частицы всего лишь на 90 км/с меньше скорости света, то ее масса увеличивается в 40 раз. Мощные ускорители для электронов способны разгонять эти частицы до скоростей, которые меньше скорости света лишь на 35—50 м/с. При этом масса электрона возрастает примерно в 2000 раз. Чтобы такой электрон удерживался на круговой орбите, на него со стороны магнитного поля должна действовать сила, в 2000 раз большая, чем можно было бы предполагать, не учитывая зависимости массы от скорости. Для расчета траекторий быстрых частиц пользоваться механикой Ньютона уже нельзя.

С учетом соотношения (2.6) импульс тела равен:

(2.7)

Основной же закон релятивистской динамики записывается в прежней форме:

(2.8)

Однако импульс тела, здесь определяется формулой (2.7), а не просто произведением .

Таким образом, масса, считавшаяся со времен Ньютона неизменной, в действительности зависит от скорости.

По мере увеличения скорости движения масса тела, определяющая его инертные свойства, увеличивается. При u® с масса тела в соответствии с уравнением (2.6) возрастает неограниченно ( m ®¥ ); поэтому ускорение стремится к нулю и скорость практически перестает возрастать, как бы долго ни действовала сила.

Необходимость пользоваться релятивистским уравнением движения при расчете ускорителей заряженных частиц означает, что теория относительности в наше время стала инженерной наукой.

Законы механики Ньютона можно рассматривать как частный случай релятивистской механики, справедливый при скоростях движения тел, много меньших скорости света.

Читайте также:  Hp proliant dl380 gen10 драйвера

Релятивистское уравнение движения, учитывающее зависимость массы от скорости, применяется при конструировании ускорителей элементарных частиц и других релятивистских приборов.

? 1. Запишите формулу зависимости массы тела от скорости его движения. 2. При каком условии можно массу тела считать не зависящей от скорости?

В опыте по измерению массы электрона с помощью масс-спектрографа на фотопластинке обнаруживается только одна полоска. Так как заряд каждого электрона равен одному элементарному заряду, мы приходим к заключению, что все электроны обладают одной и той же массой.

Масса, однако, оказывается непостоянной. Она растет при увеличении разности потенциалов , ускоряющей электроны в масс-спектрографе (рис. 351), Так как кинетическая энергия электрона прямо пропорциональна ускоряющей разности потенциалов , то отсюда следует, что масса электрона растет с его кинетической энергией. Опыты приводят к следующей зависимости массы от энергии:

, (199.1)

где — масса электрона, обладающего кинетической энергией , — постоянная величина, — скорость света в вакууме . Из формулы (199.1) вытекает, что масса покоящегося электрона (т. е. электрона с кинетической энергией ) равна . Величина получила поэтому название массы покоя электрона.

Измерения с различными источниками электронов (газовый разряд, термоэлектронная эмиссия, фотоэлектронная эмиссия и др.) приводят к совпадающим значениям массы покоя электрона. Масса эта оказывается крайне малой:

Таким образом, электрон (покоящийся или медленно движущийся) почти в две тысячи раз легче атома легчайшего вещества — водорода.

Величина в формуле (199.1) представляет собой добавочную массу электрона, обусловленную его движением. Пока эта добавка мала, можно при вычислении кинетической энергии приближенно заменить на , и положить . Тогда отсюда видно, что наше предположение о малости добавочной массы по сравнению с массой покоя равносильно условию, что скорость электрона много меньше скорости света . Напротив, когда скорость электрона приближается к скорости света, добавочная масса становится большой.

Альберт Эйнштейн (1879—1955) в теории относительности (1905 г.) теоретически обосновал соотношение (199.1). Он доказал, что оно применимо не только к электронам, но и к любым частицам или телам без исключения, причем под нужно понимать массу покоя рассматриваемой частицы или тела. Выводы Эйнштейна были проверены в дальнейшем в разнообразных опытах и полностью подтвердились. Теоретическая формула Эйнштейна, выражающая зависимость массы от скорости, имеет вид

(199.2)

Таким образом, масса любого тела возрастает при увеличении его кинетической энергии или скорости. Однако, как и для электрона, добавочная масса, обусловленная движением, заметна только тогда, когда скорость движения приближается к скорости света. Сравнивая выражения (199.1) и (199.2), получим формулу для кинетической энергии движущегося тела, учитывающую зависимость массы от скорости:

(199.3)

В релятивистской механике, (т. е. механике, основанной на теории относительности) так же как и в классической, импульс тела определяется как произведение его массы на скорость. Однако теперь масса сама зависит от скорости (см. (196.2)>, и релятивистское выражение для импульса имеет вид

(199.4)

В механике Ньютона масса тела считается величиной постоянной, не зависящей от его движения. Это означает, что ньютонова механика (точнее, 2-й закон Ньютона) применима только к движениям тел со скоростями очень малыми по сравнению со скоростью света. Скорость света колоссальна; при движении земных или небесных тел всегда выполняется условие , и масса тела практически неотличима от его массы покоя. Выражения для кинетической энергии и импульса (199.3) и (199.4) при переходят в соответствующие формулы для классической механики (см. упражнение 11 в конце главы).

Читайте также:  Как импортировать закладки в оперу из хрома

Ввиду этого при рассмотрении движения таких тел можно и нужно пользоваться механикой Ньютона.

Иначе обстоит дело в мире мельчайших частиц вещества — электронов, атомов. Здесь нередко приходится сталкиваться с быстрыми движениями, когда скорость частицы уже не мала по сравнению со скоростью света. В этих случаях механика Ньютона неприменима и нужно пользоваться более точной, но и более сложной механикой Эйнштейна; зависимость массы частицы от ее скорости (энергии) — один из важных выводов этой новой механики.

Другим характерным выводом релятивистской механики Эйнштейна является заключение о невозможности движения тел со скоростью, большей скорости света в вакууме. Скорость света является предельной скоростью движения тел.

Существование предельной скорости движения тел можно рассматривать как следствие возрастания массы со скоростью: чем больше скорость, тем тяжелее тело и тем труднее дальнейшее увеличение скорости (так как ускорение уменьшается с увеличением массы).

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти


(импульсная форма)

При этом при увеличении скорости масса растет:

Рис. 1. Зависимость массы тела от его скорости

Из рисунка видно, что возрастание массы тела тем больше, чем ближе скорость тела

Что характерно, основной закон релятивистской динамики будет записан в точно такой же форме, как и закон в случае классической механики, а именно:

Но теперь мы понимаем, что под массой мы подразумеваем именно релятивистскую массу, точнее массу, изменяющуюся при движении тела.

Читайте также:  Вставка диаграммы в powerpoint

С учетом полученного нами выражения для массы, парадокс, о котором мы говорили выше, разрешен. Ведь если скорость тела крайне близка к скорости света, его масса, как мы видели, стремится к бесконечности, а значит, даже постоянно действующая сила не сможет разогнать, не сможет изменить его скорость.

Классическая механика Ньютона, те три закона Ньютона, которые лежат в ее основе, вполне успешно работает в случае скоростей, намного меньших, чем скорость света. Поэтому для решения повседневных задач, мы будем пользоваться именно классической механикой, в случае же работы со скоростями, близкими к скорости света, нужно учитывать данное изменение массы, о котором мы уже упоминали.

Связь между массой и энергией. Масса покоя

Теперь перейдем к важнейшему следствию из теории относительности, а именно к связи между массой и энергией. Это связь, которая неизбежно следует из того факта, что масса тела при движении изменяется.

Пример № 1

Представьте себе сосуд, в котором находится какой-то газ, в качестве примера можно представить воздух в комнате, в которой вы находитесь (Рис. 2.).

Рис. 3. Комната, наполненная воздухом

Если мы нагреваем этот воздух, значит, мы сообщаем ему дополнительную энергию (). Но при этом стоит вспомнить, что скорость хаотического теплового движения молекул, которая зависит от температуры, тоже естественно увеличивается при нагревании газа. Мы только что записали, что увеличение скорости движения молекул означает увеличение массы всех молекул, а именно масса молекул растет. Следовательно, и суммарная масса воздуха в комнате увеличивается, а следовательно, увеличивается внутренняя энергия.

С помощью теории относительности Эйнштейн вывел формулу связи массы и энергии.

Энергия тела или системы тел равна массе, умноженной на квадрат скорости света.

Таким образом, изменение энергии системы приводит к изменению массы системы.

Важно отметить, что небольшие изменения энергии влекут за собой такие же малые изменения массы.

Примеры

Согласно вышеприведенной формуле масса воды в горячем чайнике будет немного больше, чем масса воды в холодном чайнике, но это изменение будет настолько мало, что даже самые точные весы не смогут его зафиксировать.

Существенным такое изменение будет лишь для атомных ядерных реакций и для элементарных частиц.

При превращении элементарной частицы из частицы, масса покоя которой фиксирована, в частицу, масса покоя которой равна 0, такое изменение массы приводит к высвобождению энергии, к увеличению кинетической энергии вновь образовавшейся частицы.

Заключение

Мы получили основной закон релятивистской динамики, он имеет схожий вид с законом в классической динамике, но теперь мы понимаем, что масса тела, которое движется со скоростью больше, чем масса покоящегося тела. Кроме того, мы ознакомились с универсальной формулой, которая связывает массу и энергию.

Список литературы

1. Жилко В.В., Маркович Я.Г. Физика. 11 класс. – 2011.

2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М. Физика. 11 класс. Учебник.

3. Касьянов В.А. Физика, 11 класс. – 2004.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Сайт объединения учителей физики Санкт-Петербурга (Источник)

2. Интернет-сайт toehelp.ru (Источник)

3. Интернет-сайт fizika9kl.pm298.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Найти импульс протона, движущегося со скоростью .

2. Найти кинетическую энергию электрона (в МэВ), движущегося со скоростью .

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

«>

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector