Формула тейлора для тангенса

Формула тейлора для тангенса

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.

Определение ряда Тейлора.

Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.

Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x — a типа:

Свойства ряда Тейлора.

Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:

У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.

Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:

Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.

Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:

Ряды Маклорена некоторых функций.

1. Экспонента: ,

Метод решения

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x , стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной.
2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0 . При этом выполняем разложение до такой степени x n , которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o ( x n ) .

Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.

Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n , до которого мы будем проводить разложение.
Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .
В) В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при . Например,
.
Здесь при . Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .

Читайте также:  Блок питания для проверки телефонов

Примечание. Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.

Применяемые свойства о малого

Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).

Далее m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.

Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого выполняем преобразования.

.
Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .

.
Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
.
Оставляем только линейный член.
.
.
Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .

Пример 2

Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.

Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем.
.

Читайте также:  Lords of the fallen как убивать боссов

Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
.

Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.

Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Это неопределенность вида 0/0 . Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
;
;
.

Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.

Пример 4

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.

Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0 . Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑:
(П4.1) .
В разложении экспоненты, заменим x на –x :
(П4.2) .
Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t :
(П4.3) .

Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
.
Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).

Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x : . То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x : , и линейные . Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
;
;
.
Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:

.
Подставляем в предел:

.
Мы снова получили неопределенность вида 0/0 . Значит разложения до степени не достаточно.

Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность:
.

Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в .
;
;

Читайте также:  Forza horizon 3 xbox one

;

.
Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на :

.

Подставляем в исходную функцию.

.
Находим предел.
.

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.

Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.

Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование.
.
Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .

Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑.
;
;

;
;
;
;
Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при .
,
где .

Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
Применим разложение синуса ⇑:
.
Заменим x на :
. Тогда
;

;
Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Раскладываем с точностью до и учитываем, что .

;
.

Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 29-04-2019

Ряд Тейлора функции одной переменной

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+frac<2!>+cdots+frac(a)(x-a)^><(n-1)!>+R_n$ где $R_n$, остаточный член после n слагаемых, может быть записан в одной из следующих форм:

Величина $xi$, которая может отличаться для двух форм, лежит в промежутке между $a$ и $x$. Результат справедлив, если $f(x)$ имеет непрерывные производные до порядка $n$ как минимум.

Если $lim_ R_n=0$, полученный бесконечный ряд называется рядом Тейлора функции $f(x)$ в окрестности $x = a$. Если $a = 0$, такое разложение часто называют рядом Маклорена. Эти ряды, часто называемые степенными рядами, обычно сходятся для всех значений $x$ из некоторого интервала, который называется интервалом сходимости, и расходятся для всех $x$ вне этого интервала.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector