Формула для вычисления дискриминанта

Формула для вычисления дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Вид уравнения Формула корней Формула дискриминанта
ax 2 + bx + c = 0 b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0 k 2 — ac
x 2 + px + q = 0
p 2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения Формула
ax 2 + bx + c = 0 , где D = b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0 , где D = k 2 — ac
x 2 + px + q = 0 , где D =
, где D = p 2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8, D 2 — 6x + 9 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

,

a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта: .

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D 2 .

Общие сведения

Решение квадратных уравнений — одно из ключевых моментов в математике. Ещё древние вавилоняне и греки пытались найти закономерности при решении таких равенств. Но первым, кто описал методы нахождения дополнением квадрата, был индийский философ Будхаяма. Именно он предложил записывать уравнения в виде: ax 2 = c и ax 2 + bx = c. В дальнейшем способы усовершенствовались. Так, Евклид предложил метод геометрического вычисления ответа.

Но наиболее значимым стало открытие Буля. Изучая формулы различных уравнений, он пришёл к выводу, что выражения почти всегда можно упростить, заменив переменные другим набором, содержащим новые неизвестные. При этом, найдя их, определить первоначальные уже не составляет труда.

Такой способ был применён и к квадратному уравнению. Благодаря ему стало возможным упростить квадратичную форму с двумя переменными, используя дискриминант. Это понятие тесно связано с многочленом, имеющим следующий вид: d (m) = a 0 *m n + a 1 *m n-1 + a 2 *m n-2 + … + a n-1 *m + a n, где m — искомое неизвестное, a n, a n-1, a n-2, … a 1 и a 0 — числовые постоянные.

Термин «дискриминант» был придуман не математиками, но успешно стал ими использоваться при вычислении квадратичных функций. Произошёл он от латинского слова discriminans, что в дословном переводе означает «разделяющий». Важной величиной стало значение, придуманное Булем и имеющее вид b2 — 4ac. Учёный открыл, что после того как переменные линейно изменятся, дискриминант будет равняться первоначальному, умноженному на член, находимому из функции поведения неизвестных.

Читайте также:  Телефон за 3000 рублей фото

При решении равенств, содержащих формулу дискриминанта и его корней, используют формулу для быстрого определения количества возможных решений и их числового нахождения. Математически определение записывают следующим образом: p (x) = m + mx + ⋯ + mx, m ≠ 0, где: D (p) = m∏(m − m). То есть дискриминантом многочлена p (x) является сумма произведений корней на неизвестный коэффициент в основном поле их существования.

Смысл дискриминанта

Дискриминант — одно из эффективных решений квадратных выражений. С его помощью легко можно выявить, сколько корней имеет уравнение или установить, что их нет. Применять его можно как к полным квадратным равенствам, так и неполным. Но всё же во втором случае использовать дискриминант не нужно.

Эта тема изучается в седьмом и восьмом классе средней школы. Лучше понять смысл параметра поможет простой пример. Пусть имеется уравнение вида m 2 + 2m — 8 = 0. Не имея понятие о дискриминанте, решение уравнения сводится к приведению его к формуле квадрата суммы m 2 + 2m +1 — 1- 8 = 0. Добавление и вычитание единицы возможно, так как в итоге получается сложение с нулём.

Первые три члена представляют собой квадрат суммы, который можно свернуть по формуле сокращённого умножения до вида a 2 +2ab + b 2 = (a+b) 2 . Отсюда, применительно к рассматриваемому примеру, получится: (m + 1) 2 — 1 — 8 = 0. После преобразований с переносом неизвестного в одну сторону (а известных — в другую) и раскрытием скобки получится равенство: (m + 1) 2 = 9. То есть возможными решениями будут m = 2 для (m + 1) = 3 и m = -4 для (m + 1) = -3.

В общем виде все эти преобразования можно выполнить в следующей последовательности:

  1. Уравнение am 2 + bm + c = 0 нужно переписать в приведённом виде, то есть разделить каждый член на первый коэффициент: m 2 + bm / a + c / a = 0.
  2. Согласно формуле сокращённого умножения нужно добиться того, чтобы при неизвестном во втором члене стояло удвоенное произведение. Поэтому числитель и знаменатель нужно помножить на двойку: m 2 + 2bm / 2a + c / a = 0.
  3. Полученное выражение стоит переписать в более наглядном виде m 2 + 2 m * (b /2 a) + c / a = 0. Это равенство являлось бы приведённым к формуле сокращённого умножения, если бы в последнем члене был квадрат.
  4. Ко второму члену следует прибавить и вычесть (b/2a) 2 . В итоге получится m 2 + 2m * (b/2a) + (b/2a) 2 — (b/2a) 2 + c/a = 0.
  5. Первые три слагаемые — это классическая формула квадрата суммы. Применив её, получится: (m + b/2a) 2 = (b/2a) 2 — c/a.
  6. Затем нужно раскрыть скобки и привести к общему знаменателю. Получится конструкция вида (m + b/2a) 2 = b 2 -4 ac /4 a 2 .
  7. Умножив на 4a 2 обе части. Выражение примет вид (2 am + b) 2 = b 2 — 4 ac.
Читайте также:  Свободное распространение программного обеспечения

Многочлен b2 — 4ac было решено принять за дискриминант. Это выражение по сути и определяет возможность существования решений и количество корней. Выполнив его расчёт, фактически и находится ответ уравнения.

Взаимосвязь параметра

Объяснение дискриминанта имеет и графическое обоснование. Физически задача заключается в комплексном подходе установления взаимосвязи. Фактически это фиксирование нулей параболы уравнения, то есть точек, в которой она пересекает ось абсциссы. Знак при переменной в квадрате будет определять положение веток параболы. Они будут идти вверх при a > 0, и вниз, если a 2 — 4 ac к удвоенному произведению первого коэффициента в уравнениях x1 = (- b + √ b 2 — 4 ac) / 2a; x2 = (- b — √ b 2 — 4 ac) / 2a. Подкоренное выражение называют формулой сокращённого дискриминанта.

Дискриминант при нахождении корней уравнения может принимать три значения:

  1. Отрицательное. В случае, когда он меньше нуля, точный квадрат должен равняться числу с минусом, чего не может быть из-за свойств квадратной степени. Поэтому при таком положении вещей решений или действительных корней у уравнения нет. График уравнения не пересекает ось абсциссы.
  2. Равное нулю. Это состояние характеризуется уравнением вида: (2 am + b) 2 = 0. Так как квадрат числа может быть равен нулю, только если это число нулевое, то рассматриваемое уравнение можно переписать как m = — b / 2a. Это и есть упрощённая формула при дискриминанте, равному 0. На графике существует лишь одна точка пересечения с осью абсциссы.
  3. Положительное. Это наиболее распространённый случай и самый тяжёлый для проведения расчётов. При нём из обеих частей уравнения теоремы (2 am + b) 2 = b 2 — 4 ac надо извлечь квадратный корень. В итоге получится 2am + b =± √D. Тут следует отметить следующее: минус возникает из-за того, что возводимое в квадрат число может быть как положительное, так и отрицательное. Например, 9 2 = 81 и -9 2 = 81. Из этого выражения можно выразить неизвестное. Оно будет равняться половинному значению m = (-b ± √D) / 2a. Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

Последнее выражение является формулой корней квадратного уравнения. Именно с её помощью могут решаться равенства, в степени которых стоит двойка. Через дискриминант можно вычислять корни и уравнений больших порядков. Для этого используются приёмы понижения степени до квадратного. Но эти операции учащиеся начинают изучать на уроках в выпускном классе, когда проходят решение уравнений n-го порядка.

Типовые примеры

Даже зная правило поиска корней через дискриминант, научиться быстро вычислять корни уравнения не получится, если не практиковаться. Поэтому решение практических задач обязательно входит школьную в программу обучения:

    Дано равенство 6x 2 — 13x +2 = 0. Нужно определить количество его корней, если они существуют, их числовые значения. В первую очередь нужно нарисовать таблицу, в которую выписаны все заданные коэффициенты. Так: a = 6; b = -13; c = 2. Эти значения нужно подставить в формулу дискриминанта и найти его: D = b 2 — 4ac = (-13) 2 — 4 * 6 *2 = 149 — 68 = 121. То есть D больше нуля. Значит, согласно правилу, уравнение будет иметь два корня. Теперь их нужно рассчитать: x1 = (13 + √126) / 2 * 6 = 2; x2 = (13 — √126) / 2 * 6 = 1/6. Задание решено.
Читайте также:  Как выглядит блок питания в компьютере фото

Определить возможность решения уравнения 4m 2 — 2m — 3 = 2. Для приведения к удобному виду двойку нужно перенести влево. В итоге получится 4m 2 — 2m — 5 =0. Дискриминант равняется: D = 4 — 4 * 4 * (-5) = 4 + 80 = 84. Так как он больше нуля, то корней будет два. Тут сложность заключается в том, что нет целого числа, которое равнялось бы корню из √84. Однако, √84 = √4 * √21 = 2 √21. Используя формулы, получаем что m = (2 ± 2√21) / 2 * 4. Двойку можно вынести в числителе за скобки, получив тем самым удобную запись: m = (2 * (1 ±√21) / 2 * 4 = (1 ± √21) / 4. Это выражение и есть искомое решение.

Решить уравнение: x /3 — x 2 / 4 + 1 /6 = 3x / 2 — 4x 2 / 3. Для упрощения равенства нужно правую и левую сторону умножить на двенадцать: 12x / 3 — 12 * x 2 / 4 + 12 /6 = (3 * 12x) / 2 — (4 * 12x 2 ) / 3. Получится 4 x — 3 x 2 + 2 = 18 x — 16 x 2 . Члены нужно привести к стандарту: 4 x — 3 x 2 + 2 — 18 x + 16 x 2 = 13 x 2 — 14 x + 2 = 0. Считаем дискриминант: D = (-14) 2 — 4 * 13 * 2 = 92. Он больше нуля, поэтому есть смысл искать корни: X = (14 ± √ 92) / 2 * 13 = (14 ± 2 √ 23) / 2 * 13 = 2 (7±√23) / 2 *13 = (7± √23) /13.

Таким образом, любое выражение нужно стремиться переписать так, чтобы оно приняло классический вид. Это может быть умножение или деление на какое-либо число, поиск общего знаменателя. А уже после нужно искать дискриминант, по виду которого можно определить, есть ли смысл в дальнейшем нахождении корней уравнения.

Вычисления на онлайн-калькуляторе

Поиск решений уравнения через дискриминант — довольно простая тема. Необходимо запомнить всего две формулы и свойства, зависящие от значения дискриминанта. Но на практике попадаются примеры содержащие интегралы, логарифмы, экспоненциальные функции. При этом всё это может быть записано в виде сложных дробей.

Решая задания самостоятельно, даже имея большой опыт и знания, есть вероятность допущения ошибки. Поэтому при вычислении сложных примеров стоит использовать онлайн-калькуляторы.

Из сервисов, предлагающих такие услуги, можно отметить:

  • Math.semestr;
  • Kontrolnaya-rabota;
  • Onlinemschool;
  • Wpcalc;
  • Webmath.

Эти российские сайты. Их интерфейс интуитивно понятен. Для выполнения вычислений не нужно указывать персональные данные или платить за услуги. От пользователя лишь требуется записать в предложенную форму квадратное уравнение или даже матрицу, состоящую из них. Программа автоматически выполнит нужный расчёт и предоставит пошаговое решение. Кроме того, на сайтах решателей уравнений содержится в кратком виде теоретический материал и типовые примеры с подробным решением.

Даже ничего не понимающий в дискриминантах человек, воспользовавшись онлайн-калькулятором несколько раз, сможет восполнить пробелы в знаниях, самостоятельно научиться решать примеры, узнает, как правильно должен писаться дискриминант. Использование онлайн-сайтов для математических решений позволяет сэкономить время и получить точный результат.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector