Формула для нахождения медианы треугольника

Формула для нахождения медианы треугольника

  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
  • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Другие свойства [ править | править код ]

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
Читайте также:  Сколько стоит переустановить виндовс 8 на ноутбуке

  • Трилинейная полярацентроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения [ править | править код ]

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

m a = 2 b 2 + 2 c 2 − a 2 4 , +2c^<2>-a^<2>><4>>>,> m b = 2 a 2 + 2 c 2 − b 2 4 , =<2>+2c^<2>-b^<2>><4>>>,> m c = 2 a 2 + 2 b 2 − c 2 4 , =<2>+2b^<2>-c^<2>><4>>>,> где m a , m b , m c , m_> — медианы к сторонам треугольника a , b , c соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) +m_^<2>+m_^<2>=<4>>(a^<2>+b^<2>+c^<2>)> .

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

a = 2 3 − m a 2 + 2 m b 2 + 2 m c 2 = 2 ( b 2 + c 2 ) − 4 m a 2 = b 2 2 − c 2 + 2 m b 2 = c 2 2 − b 2 + 2 m c 2 , <3>><2>+2m_^<2>+2m_^<2>>>=<2>+c^<2>)-4m_^<2>>>=<2>><2>>-c^<2>+2m_^<2>>>=<2>><2>>-b^<2>+2m_^<2>>>,> b = 2 3 − m b 2 + 2 m a 2 + 2 m c 2 = 2 ( a 2 + c 2 ) − 4 m b 2 = a 2 2 − c 2 + 2 m a 2 = c 2 2 − a 2 + 2 m c 2 , <2><3>>^<2>+2m_^<2>+2m_^<2>>>=<2>+c^<2>)-4m_^<2>>>=<2>><2>>-c^<2>+2m_^<2>>>=<2>><2>>-a^<2>+2m_^<2>>>,> c = 2 3 − m c 2 + 2 m b 2 + 2 m a 2 = 2 ( b 2 + a 2 ) − 4 m c 2 = b 2 2 − a 2 + 2 m b 2 = a 2 2 − b 2 + 2 m a 2 , <2><3>>^<2>+2m_^<2>+2m_^<2>>>=<2>+a^<2>)-4m_^<2>>>=<2>><2>>-a^<2>+2m_^<2>>>=<2>><2>>-b^<2>+2m_^<2>>>,> где m a , m b , m c ,m_> — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a , b , c — стороны треугольника.

Площадь S любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

S = 4 3 σ ( σ − m a ) ( σ − m b ) ( σ − m c ) , <3>>)(sigma -m_)>>,> где σ = ( m a + m b + m c ) / 2 +m_)/2> — полусумма длин медиан.

Определение

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Читайте также:  Как в экселе убрать нули в таблице

Свойства медиан

  • Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
  • Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.

  • Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

  • В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$

Найдем значение медианы: $$m==<5over2>=2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

  • В треугольнике известны значения сторон : a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt<<1over2>*(a^2+c^2-b^2)>$$

$$m=sqrt<<1over2>*(49+81-64)>=sqrt<33>$$ – оставим результат в виде корня.

  • В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.
Читайте также:  Драйвера для usb наушников с микрофоном

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

Площадь каждого из малых треугольников: $$<24over6>=4$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Рассмотрим задачу, в которой требуется по сторонам треугольника найти его медиану.

Даны стороны треугольника. Найти длину медианы, проведенной к наибольшей стороне.

Дано: ∆ ABC,

сторона AC — наибольшая,

1) На луче BO отложим отрезок OD, OD=BO.

2) Проведем отрезки AD и CD.

3) Рассмотрим четырехугольник ABCD.

AO=CO (так как BO — медиана треугольника ABC по условию);

BO=DO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).

так как BO=1/2 BD (по построению),

Если ввести обозначение

формула для нахождения медианы треугольника по его сторонам примет вид:

Запоминать эту формулу не обязательно. При решении конкретной задачи следует привести все рассуждения.

Если медиана проведена не к наибольшей, а к наименьшей либо средней по величине стороне, решение задачи аналогично.

Соответственно, формулы для нахождения длины медианы в этих случаях:

Приём, который применили для решения задачи — метод удвоения медианы.

«>

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector