Что значит десятичная система счисления

Что значит десятичная система счисления

С того момента, как человек впервые осознал себя автономным объектом в мире, огляделся вокруг, прервав замкнутый круг бездумного выживания, он начал изучать. Смотрел, сравнивал, считал, делал выводы. Именно на этих, казалось бы, элементарных действиях, которые сейчас под силу и ребенку, начали основываться современные науки.

С чем работать будем?

Для начала необходимо определиться с тем, что вообще представляет собой система счисления. Это условный принцип записи чисел, их наглядное представление, которое упрощает процесс познания. Сами по себе числа не существуют (да простит нас Пифагор, который считал число основой мироздания). Это просто абстрактный объект, что имеет физическое обоснование лишь при вычислениях, своеобразное мерило. Цифры — объекты, из которых число составляется.

Начало

Первый осознанный счет носил самый примитивный характер. Теперь его принято называть непозиционной системой счисления. На практике она представляет собой число, в которых позиция составляющих его элементов неважна. Взять, к примеру, обыкновенные черточки, каждая из которых соответствует определенному объекту: три человека эквивалентны |||. Как ни крути, три черточки — это все те же три черточки. Если брать более близкие примеры, то древние новгородцы пользовались при счете славянским алфавитом. При необходимости выделения именно числа над буквой просто проставляли знак

. Также буквенная система счисления была в почете у древних римлян, где числа – это опять же буквы, но принадлежащие уже латинскому алфавиту.

В силу обособленности древних держав, каждая из них развивала науку самостоятельно, кто во что горазд.

С развитием и усложнением процесса познания мира появилась потребность выделения разрядов. Представим, что нужно как-то зафиксировать численность армии государства, которая измеряется тысячами (в лучшем случае). Что ж теперь, бесконечно выписывать палочки? Из-за этого шумерские ученые тех лет выделили систему счисления, в которой месторасположение символа было обусловлено его разрядом. Опять же, пример: числа 789 и 987 имеют один и тот же "состав", но, в силу смены расположения цифр, второе существенно больше.

Что это такое — десятичная система счисления? Обоснование

Конечно, позиционность и закономерность были не едиными для всех методов подсчета. Например, в Вавилоне базой выступало число 60, в Греции — алфавитная система (число составляли буквы). Примечательно то, что метод подсчета жителей Вавилона жив и по сей день — он нашел свое место в астрономии.

Однако прижилась и распространилась та, у которой основание системы счисления — десятка, так как прослеживается откровенная параллель с пальцами человеческих рук. Посудите сами — поочередно сгибая пальцы, можно досчитаться чуть ли не до бесконечного множества.

Начало этой системе было положено в Индии, причем она появилась сразу на базе «10». Формирование названий чисел было двояким – например, 18 можно было прописать словом и как «восемнадцать», и как «без двух двадцать». Также именно индийские ученые вывели такое понятие, как «ноль», официально его появление зафиксировано в IX веке. Именно этот шаг стал основополагающим в формировании классических позиционных систем счисления, потому что ноль, несмотря на то, что символизирует пустоту, ничто, способен поддержать разрядность числа, дабы оно не потеряло свой смысл. Например: 100000 и 1. Первое число включает в себя 6 цифр, первая из которых – единица, а пять последних обозначают пустоту, отсутствие, а второе число – просто единица. По логике, они должны быть равны, но на практике это далеко не так. Нули в 100000 обозначают присутствие тех разрядов, которых во втором числе нет. Вот вам и «ничто».

Читайте также:  Как перевести кубометры газа в киловатты

Современность

Десятичная система счисления состоит из цифр от нуля до девяти. Числа, составленные в её рамках, строятся по следующему принципу:

крайняя справа цифра обозначает единицы, сместитесь на один шаг влево – получите десятки, еще шаг влево – сотни и так далее. Сложно? Ничего подобного! На самом деле, десятичная система примеры может предоставить весьма наглядные, взять хотя бы число 666. Состоит из трех цифр 6, каждая из которых обозначает свой разряд. Причем эта форма записи является свернутой. Если вы хотите подчеркнуть, о каком именно числе идет речь, то его можно развернуть, придав письменную форму тому, что «проговаривает» ваш внутренний голос каждый раз, когда вы видите число – «шестьсот шестьдесят шесть». Само написание включает в себя все те же единицы, десятки и сотни, то есть каждая цифра позиции умножается на определенную степень числа 10. Развернутая форма представляет собой следующее выражение:

66610 = 6х10 2 + 6*10 1 + 6*10 0 = 600 + 60 + 6.

Актуальные альтернативы

Второй по популярности после десятичной системы счисления является достаточно молодая разновидность — двоичная (бинарная). Появилась она благодаря вездесущему Лейбницу, который считал, что в особо сложных случаях в исследовании теории чисел бинарность будет удобнее, нежели десятизначность. Свое повсеместное распространение она получила с развитием цифровых технологий, так как имеет в основании число 2, и элементы в ней составляются из цифр 1 и 2.

С течением времени процессы, связанные с программированием, усложнялись, поэтому ввели способы записи чисел, у которых в основании лежат 8 и 16. Почему именно они? Во-первых, количество знаков больше, а значит, само число будет короче, во-вторых — в их основе лежит степень двойки. Восьмеричная система состоит из цифр 0-7, а шестнадцатеричная — из тех же цифр, что и десятичная, плюс буквы от A до F.

Принципы и методы перевода числа

Перевести в десятичную систему счисления просто, достаточно придерживаться следующего принципа: исходное число записывается как многочлен, который состоит из сумм произведений каждого числа на основу "2", возведенную в соответствующую разрядности степень.

Основная формула для вычисления:

Примеры перевода

Для закрепления рассмотрим несколько выражений:

Читайте также:  Преобразовать в динамический диск или gpt

1011112 = (1×2 5 ) + (0x2 4 ) + (1×2 3 ) + (1×2 2 ) + (1×2 1 ) + (1×2 0 ) = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 4710.

Усложним задачу, ибо система включает в себя перевод и дробных чисел, для этого рассмотрим отдельно целую и отдельно дробную часть — 111110,112. Итак:

111110,112 = (1×2 5 ) + (1×2 4 ) + (1×2 3 ) + (1×2 2 ) + (1×2 1 ) + (0x2 0 ) = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 6210;

112 = 2 -1 x1 + 2 -2 x1 = 1/2 + 1/4 = 0,7510.

В итоге получаем, что 111110,112 = 62,7510.

Вывод

Несмотря на всю «древность», десятичная система счисления, примеры которой мы рассмотрели выше, все еще «на коне», и списывать ее со счетов не стоит. Именно она становится математической основой в школе, на ее примере познаются законы математической логики, выводится умение строить выверенные взаимосвязи. Да что уж там — практически весь мир пользуется именно этой системой, не смущаясь ее неактуальностью. Причина для этого одна: она удобная. В принципе, вывести основу счета можно любую, ею при необходимости станет даже яблоко, но зачем усложнять? Идеально выверенное количество цифр при необходимости и по пальцам пересчитать можно.

Система счисления (иначе называемая нумерацией) – это способ именования и записи чисел с помощью определённого набора символов.

Практическая деятельность потребовала от людей не только умения считать, но и умения записывать числа. В давние времена для записи чисел люди использовали особые рисунки, чёрточки, буквы и другие способы обозначения количества предметов. В настоящее время используется десятичная система счисления, в которой для записи числа используют следующие десять знаков:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Знаки, употребляемые для записи чисел, называются цифрами.

Название системы счисления зависит от её основания. Основание системы счисления – это количество цифр, которые используются в данной системе счисления для записи чисел. Так как в системе счисления, которой мы пользуемся 10 цифр, то она имеет основание 10, поэтому система счисления называется десятичной .

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от её позиции в записи числа. Для примера возьмём число 777, которое состоит из трёх одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает семь сотен, вторая – семь десятков, а третья – семь единиц. Так как значение цифры зависит от её позиции в записи числа, десятичную систему счисления также называют позиционной.

Позиционной называют такую систему счисления, в которой значение цифры зависит от её позиции в записи числа.

Числа, которые записаны с помощью одной цифры, называют однозначными, записанные с помощью двух – двузначными, так же по количеству цифр в числе дают названия и другим числам:

1, 2, 4 – однозначные числа.
14, 77, 92 – двузначные числа.
122, 345 – трёхзначные числа.
537633, 987345 – шестизначные числа.

Двузначные, трёхзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. числа называют многозначными.

Читайте также:  Gigabyte geforce gtx 950 2gb

Следует помнить, что цифра и число не одно и то же.

Цифра – это только письменный знак, используемый для записи числа. Число может быть обозначено не одной, а несколькими цифрами (например, 75) или может быть выражено словами (семьдесят пять).

В десятичной системе счисления q=10 и набор символов включает цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Таким образом, по формуле (1) число 478,53 в в десятичной системе счисления можно представить в виде:

478,53(10)=4*10 2 +7*10 1 +8*10 0 +5*10 -1 +3*10 -2

По такому принципу можно строить различные системы счисления.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием q=2 и символами отображения чисел, состоящими из двух цифр: 0 и 1.

В соответствии с формулой (1) запись числа 10111,101(2) соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:

10111,101(2)=1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 =23,625(10)

Восьмеричная система счисления

Это позиционная система счисления с основанием q=8 и символами отображения чисел, состоящими из восьми цифр: 0,1,2.3,4,5,6,7. Число восемь десятичной системы счисления записывается в виде 10(8), так как является единицей следующего разряда. Числу 478,53(10) будет соответствовать число 736,41(8), так как

736,41(8) =7*8 2 +3*8 1 +6*8 0 +4*8 -1 +1*8 -2 =478,53(10)

Шестнадцатеричная система счисления

Это позиционная система счисления с основанием q=16 и символами отображения чисел, состоящими из десяти цифр: 0,1,2.3,4,5,6,7,8,9 и шести букв: А – соответствует числу 10(10), B – числу 11(10), C – числу 12(10), D – числу 13(10), E – числу 14(10), F – числу 15(10). Число 16 в десятичной системе счисления записывается в виде 10(16), а число, например 1DE,87(16)=1*16 2 +13*16 1 +14*16 0 +8*16 -1 +7*16 -2 =478,53(10)

Правило перевода из десятичной системы счисления в недесятичную

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода из десятичной системы счисления в недесятичную.

Правило перевода целой части числа

Целую часть десятичного числа необходимо последовательно делить на основание q системы счисления, в которой переводят, до тех пор пока частное не будет меньше делителя. Полученный результат записывается как последовательность последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.

Правило перевода дробной части числа

Дробную часть десятичного числа необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части, получаемых произведений, на основание q системы счисления, в которой переводят. Процесс перевода заканчивается, если дробная часть получилась равной нулю или если вычислено заданное количество цифр после запятой. Полученная дробь записывается в виде последовательности целых частей произведений, начиная с первого.

Пример 2. Перевести 165, (10) в двоичную систему счисления.

1 2 1 20 10∟2

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector